📊 統計計算引擎

本章節介紹 SPC 系統的核心運算邏輯：如何依據歷史數據估算管制界限，以及如何量化製程與規格之間的適配度。

1. 管制界限 (Control Limits) 的統計估算策略

中心線 ($CL$) 與管制界限 ($UCL/LCL$) 反映了製程的自然波動區間。

1.1 平均值圖的管制界限

• 公式： $CL = \bar{\bar{X}}$ $UCL = \bar{\bar{X}} + A_2 \bar{R}$ $LCL = \bar{\bar{X}} - A_2 \bar{R}$
• 設計邏輯：透過全距平均值 ($\bar{R}$) 與係數 ($A_2$) 來估算組內標準差 $\sigma$。

2. 短期與長期能力：$\sigma_{\text{within}}$ vs. $\sigma_{\text{overall}}$

2.1 組內變異 ($\sigma_{\text{within}}$) —— 計算 $C_{pk}$

• 公式： $\hat{\sigma}_{\text{within}} = \frac{\bar{R}}{d_2} \text{ 或 } \frac{\bar{S}}{c_4}$
• 學術意義：反映製程在「理想、受控」狀態下的潛在能力。

2.2 整體變異 ($\sigma_{\text{overall}}$) —— 計算 $P_{pk}$

• 公式：採用所有數據點計算的樣本標準差。
• 學術意義：代表客戶收到的產品真實表現。

3. 製程能力指標 (PCI) 的判讀

📊 指標選擇：Cpk vs. Ppk 判斷表

場景	使用指標	統計意義	決策目的
評估設備技術極限	Cpk	基於 $\sigma_{\text{within}}$	判斷機台「潛力」
評估客戶收貨風險	Ppk	基於 $\sigma_{\text{overall}}$	判斷真實良率
判斷製程穩定性	Cpk / Ppk 差異	指標落差	若 $C_{pk} \gg P_{pk}$，代表中心隨時間大幅漂移

📊 實戰決策：Cpk 下降診斷樹

4. 領域專家思維：PCI 指標與商業決策

專家不應只追求極高的 $C_{pk}$。

• 成本平衡：盲目提升 $C_{pk}$ 可能會大幅增加量測成本。
• 動態調整：系統支援在界限發布前進行「模擬檢核」，輔助決策。